Содержание

Главная >> Математика 6 класс. Виленкин

§ 1. Делимость чисел

2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Всякое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить эту цифру 0.

Например, 280 делится без остатка на 10, так как 280 : 10 = 28.

При делении же числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3 (т. е. последнюю цифру записи этого числа). Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.

• Если запись натурального числа оканчивается цифрой О, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Число 10 = 2 - 5 . Поэтому число 10 делится без остатка и на 2, и на 5. Отсюда и любое число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.

Например, 60 = 6 • 10 = 6 • (2 • 5) = (6 • 2) • 5 = 12 • 5, значит, 60 : 5 = 12. А из того что 60 = 6 • (5 • 2) = (6 • 5) • 2 = 30 • 2, получаем, что 60 : 2 = 30.

Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например: 246 = 240 + 6, 1435 = 1430 + 5. Так как полные десятки делятся на 5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц. Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.

• Если запись натурального числа оканчивается цифрой О или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 870 и 875 делятся без остатка на 5, а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называют чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечётными. Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны. Поэтому и цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чётны). Значит, любое натуральное число чётно лишь в случае, когда в разряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.

• Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.

Например, числа 2, 60, 84, 96, 308 чётные, а числа 3, 51, 85, 97, 509 не- чётные.

Как по записи натурального числа определить, делится оно без остатка на 10 или не делится на 10?
Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка на 5 или не делится на 5?
Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка на 2 или не делится на 2?

31. Запишите натуральные числа от 1 до 30 в порядке возрастания и подчеркните красным карандашом каждое второе число, а синим — каждое пятое. Какие числа окажутся подчёркнуты красным карандашом, какие — синим?

Какие числа подчёркнуты обоими цветами?

Назовите числа, не делящиеся ни на 2, ни на 5.

32. Назовите три числа, которые:

а) делятся на 2; б) делятся на 5;

в) делятся на 2 и на 5; г) не делятся ни на 2 и ни на 5.

33. Назовите:

а) два чётных числа, кратных 5;
б) два нечётных числа, кратных 5;
в) два чётных числа, которые не делятся на 5;
г) два нечётных числа, которые не делятся на 5.

34. Какие из чисел 200, 320, 3000, 50 000, 861, 76 540 делятся на 100? Какие из них делятся на 1000?

Сформулируйте признаки делимости на 100, на 1000.

35. Напишите все трёхзначные числа, в запись которых входят лишь цифры 0, 2, 5 и которые:

а) делятся на 2;      б) делятся на 5.

36. Коля принёс несколько коробок с яйцами, по 10 яиц в каждой коробке. Может ли быть, что он принёс 35 яиц? 43 яйца? 50 яиц?

37. Купили 5 одинаковых коробок цветных карандашей. Может ли вних оказаться: всего 92 карандаша? 90 карандашей? 75 карандашей?

38. Подставьте в таблицу подходящие значения а и b и сделайте вывод о чётности или нечётности результата действия:

39. Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

а) число, которое делится на 10;      в) число, кратное 5;
б) чётное число;                          г) нечётное число?

40. Какие числа, кратные 5, удовлетворяют неравенству:

а) 64 < х < 78;      в) 24 < у < 49;
б) 405 < х < 450;      г) 1 < у < 30?

41.Вычислите устно:

а) 17 + 0,3; 0,05 + 25; 0,37 + 2,03; 3,84 + 0,2; 1,27 + 2,3;

б) 0,728 - 0,7; 0,8 - 0,25; 1 - 0,6; 0,7 - 0,07; 3 - 0,85;

в) 0,2 • 5; 4 • 2,5; 0,5 • 20; 0,24 • 1000; 2,7 • 100;

г) 2,6 : 2; 1,8 : 9; 3,7 : 10; 5,3 : 0,1; 6 : 0 ,3.

42. Какие различные натуральные числа надо вписать в кружки (рис. 4), чтобы произведение каждых двух чисел, помещённых в кружках, соединённых отрезком, равнялось 70? Подумайте, как можно назвать набор чисел, оказавшихся в кружках.

43. Если к числу прибавить 4, то полученное число разделится без остатка на 6. Чему равен остаток от деления первого числа на 6?

44. На микрокалькуляторе по программе получен результат 24. Попробуйте объяснить, почему получилось такое число. Подумайте, какие числа будут появляться на индикаторе после каждого нажатия клавиши при выполнении программы:

45. Подтвердите примерами следующее свойство суммы: а) если каждое слагаемое кратно числу а, то и сумма кратна числу а; б) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а, то сумма не кратна числу а.

46. Назовите наименьший и наибольший делители числа 24. Назовите наименьшее кратное числу 24. Есть ли у этого числа наибольшее кратное? Назовите какое-нибудь число, кратное и 5, и 12.

47. Запишите все двузначные числа, являющиеся:

а) делителями 100;
б) кратными 25;
в) делителями 100 и кратными 25.

48. Число b является делителем числа а. Докажите, что частное от деления а на b также является делителем числа а. Проверьте это утверждение, если а = 18, а b = 3.

49. Докажите, что:

а) если а кратно b, а b кратно с, то а кратно с;
б) если а и b делятся на 6, то и а + b делится на 6.

50. Какие из дробей являются правильными и какие — неправильными?

51. При каких натуральных значениях а дробь будет правильной и при каких натуральных значениях b дробь будет неправильной?

52. Решите уравнение:

а) (х + 2,3) • 0,2 = 0,7;      в) 4,2х + 8,4 = 14,7;
б) (2,8 - х) : 0,3 = 5;      г) 0,39 : х 0,1 = 0,16.

53. На уроке физкультуры Андрей, Марат, Костя, Саша, Петя и Серё- жа готовятся к прыжкам в высоту.

а) Сколькими способами можно установить для них очерёдность прыжков?

б) Сколькими способами можно установить очерёдность прыжков, если начинают обязательно Костя или Саша?

54. Решите задачу:

1) Я задумал число. Если его увеличить в 11 раз и результат уменьшить на 2,75, то получится 85,25. Какое число я задумал?

2) Я задумал число. Если его увеличить на 9,2 и результат увеличить в 11 раз, то получится 110. Какое число я задумал?

55. Найдите среди чисел 154, 161, 174, 178, 191, 315, 320, 346, 425, 475 числа:

а) кратные 2;       б) кратные 5;      в) кратные 10;      г) нечётные.

56. Напишите:

а) все чётные числа, большие 10 и меньшие 21;
б) все нечётные числа, большие 12, но меньшие 23.

57. Напишите три четырёхзначных числа, кратных 5.

58. Выберите из дробей сначала все правильные дроби, а затем неправильные.

59. Решите уравнение:

а) (4,9 - х) : 1,2 = 3;       б) 3,8 • (х - 0,2) = 2,28.

60. Найдите значение выражения:

а) (93 • 7 + 141) : 72;
б) (357 - 348 : 6) • 4;
в) 7091 + 9663 - (243 916 + 75 446) : 527 : 3;
г) 8607 + 7605 + (376 012 - 83 314) : 414 : 7.

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Ответы

32. а) 2,6, 10 делятся на 2; б) 10, 15,20 делятся на 5; в) 20, 30, 50 делятся на 2 и на 5; г) 7, 13, 19 не делятся ни на 2 ни на 5.

33. а) 10.20; б) 15,25; в) 8, 22; г) 9,17.

34. На 100 делятся: 200, 3000, 50000; на 1000 делятся: 3000, 50000; на 100 делятся числа, оканчивающиеся двумя и более нулями; на 1000 делятся числа, оканчивающиеся тремя и более нулями.

35. а) 200, 202,220,222,250, 252, 500, 502, 520,522, 550, 552; б) 200,205,220,225, 250,255,500, 505,520,525,550, 555.

36. Коля принес 50 яиц, 50 : 10 = 5, без остатка.

37. 92 карандаша не может, т.к. 92 не делится на 5 без остатка; 90 и 75 может, т.к. 90 : 5 = 18; 75 : 5 = 15.

39. а) Нет, число должно оканчиваться нулем; б) можно, число должно оканчиваться 4; в) нет, число должно оканчиваться 0 или 5; г) можно, число должно оканчиваться 3.

40. а) 65, 70, 75; б) 410,415,420,425,430,435,440,445; в) 25,30, 35,40, 45; г) 5, 10, 15, 20, 25.

41. а) 17,3; 25,05; 2.4; 4,04; 3,57; б) 0,028; 0,55; 0,4; 0,63; 2,15; в) 1; 10; 10; 240; 270; г) 1,3; 0,2; 0,37; 53; 20.

43. Остаток от деления первого числа на 6 равен 2.

44. Такая программа выполняет действие 12+12. 16,24, 32,40,48.

45. а) Числа 15,18,24 кратны 3; сумма 15+18+24=57 тоже кратна 3; б) числа21,30 кратны 3; 40 не кратно 3; сумма 21+30+40=91 не кратна 3.

46. Наименьший делитель числа 24 равен 1, наибольший делитель числа 24 равен 24, наименьшее кратное числа 24 равно 24, наибольшего кратного у числа 24 нет, число 60 кратно и 5 и 12, потому что 60:5=12, 60:12=5.

47. а) Двузначные делители числа 100: 10, 20,25, 50; б) двузначные числа, кратные 25: 25, 50, 75; в) 25, 50.

48. Если b делитель числа а, а можно представить в виде произведения а = b • r, где r - частное. Видно, что число r тоже будет делителем числа а. 18 = 3 • 6; 6 также является делителем числа 18.

49. а) Если а кратно b,a b кратно с, а = n • b , b = m • c; a = n • b = n • (m • c = (n-m) n • m — натуральное число, значит a кратно с; б) а = n • 6, b=m • 6, а + b = n • б + m • 6=(n + m) • 6, т. е. а + b делится на 6.

50. Правильные дроби: неправильные дроби:

51. При а = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 дробь будет правильной; при b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 дробь будет неправильной.

52. а)(x + 2,3) • 0.2 = 0,7; x + 2,3 = 0,7 : 0.2; x + 2,3 = 3,5; x = 1,2;
б) (2,8 - x) : 0,3 = 5; 2,8 - x = 5 • 0.3; 2,8 - x = 1,5; x=2.8 - 1,5: x = 1,3;
в) 4,2х + 8,4 = 14,7; 4,2x = 14,7-8,4; 4,2x = 6,3; x = 6,3 : 4,2; x = 1,5;
г) 0.39x - 0,1 = 0,16; 0,39 : x = 0, 16 + 0,1; 0,39 : x = 0,26; x = 0,39:0,26; x = 1,5.

53. а) 6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 72 (72) способами; б) 2 • 5! = 24 (24) способами

54. 1) Число до уменьшения на 2,75 было равно: 85,25 + 2,75 - 88; задуманное число равно: 88 : 11 = 8; 2) Число до увеличения в 11 раз было равно: 110 : 11 = 10; задуманное число равно: 10 - 9,2 = 0,8.

55. а) 154,174,178, 320, 346; б) 315, 320, 425,475; в) 320; г) 161, 191,315,425,475.

56. а) 12, 14, 16, 18,20; б) 13, 17, 19, 21.

57 . 1000, 1005, 5000.

58. Правильные дроби: неправильные дроби

59. а) (4,9 - х) : 1,2 = 3; 4,9 - x = 31,2; 4,9 - x = 3,6; x = 4,9 - 3,6; x = 1,3; б) 3,8 • (x - 0,2) = 2,28; x - 0,2 = 2,28 : 3,8; x - 0,2 = 0,6; x = 0,6 + 0,2; x = 0,8

60. а) (93 • 7 + 141 ) : 72 = (651+141 ) : 72 = 792 : 72 = 11;
б) (357 - 348 : б) • 4 =(357 - 58) • 4 = 299 • 4 = 1196;
в) 7091 + 9663 — (243916 + 75446) : 527 : 3 = 16574 — 319362 : 527 : 3 = 16574 — 606 : 3 = 16574 - 202 = 16552;
г) 8607 + 7605 + (376012 - 83314) : 414 : 7 = 16212 + 292698 : 414 : 7 = 16212 + 707 : 7 = 16212 + 101 = 16313.