Содержание

Главная >> Математика 6 класс. Виленкин

§ 1. Делимость чисел

1. Делители и кратные

20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребятами, то каждый получит по 3 яблока, а ещё 2 яблока останутся. Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

• Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Число 1 является делителем любого натурального числа.

Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Не раскрывая пачек, можно взять 8 печений, 16 печений, 24 печенья, а 18 печений так взять нельзя. Числа 8, 16, 24 делятся на 8, а 18 на 8 не делится. Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8.

• Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Например, первые пять чисел, кратных 8, такие: 8, 16, 24, 32, 40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Какое число называют делителем данного натурального числа?
Какое число называют кратным натуральному числу а?
Какое число является делителем любого натурального числа?
Какое число и кратно n, и является делителем n?

1. На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов?

2. В каждой коробке лежат 6 чайных ложек. Можно ли, не вскрывая коробок, взять: а) 42 ложки; б) 49 ложек?

3. Верно ли, что:

а) 5 — делитель 45; б) 16 — делитель 8; в) 17 — делитель 152;

г) 27 — кратное 3; д) 6 — кратное 12; е) 156 — кратное 13?

4. Является ли число 15 делителем 105? Является ли делителем числа 105 частное 105 : 15?

5. Выберите из чисел 15, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 те, которые являются:

а) делителями 20;
б) кратными 4;
в) делителями 16 и кратными 4;
г) кратными 3 и делителями 18.
6. Напишите все делители числа:

а) 6;

б) 18;

в) 25;

г) 19.

7. Напишите все двузначные числа, кратные числу:

а) 8;

б) 11;

в) 48;

г) 99.

8. В спортивном празднике участвовали 90 школьников. Могут ли они на заключительном параде построиться: в две одинаковые шеренги? в пять одинаковых шеренг? в одиннадцать одинаковых шеренг? в колонну по шесть человек в ряд?

9. Докажите, что число 70 525 кратно числу 217, а число 729 является делителем числа 225 261.

10. На координатном луче отмечено число а (рис. 1). Отметьте на этом луче четыре числа, кратных числу а.

11. Проверьте, что каждое из чисел 6, 28, 496 равно сумме всех его делителей, не считая самого числа.

12. Проверьте, что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого числа, не считая его самого.

13. Докажите, что произведение двух натуральных чисел кратно каждому из множителей.

14. На рисунке 2 изображён в натуральную величину один кадр фотоплёнки. Каких размеров получится фотография при пятикратном увеличении? Уместится ли изображение этого кадра при десятикратном увеличении на листе бумаги, размер которого 24 х 30 см?

15. Вычислите устно:

а) 5 + 0,8; 0,23 + 7; 0,48 + 0,2; 0,6 + 0,34; 2,7 + 1,12;

б) 0,76 - 0,3; 2,54 - 2; 0,82 - 0,02; 0,63 - 0,6; 0,8 - 0,25;

в) 0,2 • 4 2,1 • 3; 0,7 • 10; 0,5 • 2; 0,25 • 4;

г) 6 : 10; 0,8 : 2; 2,1 : 7; 0,5 : 10; 4,1 : 2.

16. Найдите пропущенные числа:

17. На координатном луче отмечены числа 1 и т (рис. 3). С помощью циркуля отметьте на луче числа: m + l ; m - l ; m + m.

18. Даны три числовых выражения и три программы вычисления их значений на микрокалькуляторе. Укажите, какая программа соответствует каждому из данных выражений:

19. Найдите неполное частное и остаток при делении:

а) 243 на 15;

б) 3629 на 12;

в) 1075 на 29;

г) 1632 на 51.

20. Найдите остаток от деления:

а) 273 на 10; б) 3785 на 2; в) 3843 на 5;

г) 4236 на 5; д) 100 на 3; е) 1000 на 9.

21. При делении числа а на число b получили неполное частное с и остаток г. С помощью формулы а = be + r заполните пустые клетки таблицы.

22. Выполните действие:

а) 3,4 + 2,5; 17,2 + 2,8; 5,9 + 3,7; 4,587 + 7,64;

б) 5,7 - 1,3; 8 - 3,4; 12,3 - 1,8; 10,273 - 5,49;

в) 2,4 • 3; 3,02 • 7; 2,6 • 3,7; 4,5 • 2,06;

г) 3,5 : 7; 8,4 : 4; 60,8 : 1,9; 20,52 : 3,8.

23. Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов. Сколько могло бы быть различных государственных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета — белого, красного и синего?

Решение. Пусть верхняя полоса флага — белая (Б). Тогда нижняя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации —два варианта флага.

Если верхняя полоса флага — красная, то нижняя может быть белой или синей. Получили ещё два варианта флага.

Пусть, наконец, верхняя полоса — синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это ещё два варианта флага.

Всего получили 3 - 2 = 6 комбинаций — шесть вариантов флага (см. схему).

Для решения этой задачи мы рассмотрели все возможные варианты расположения цветных полос на флаге, или все возможные комбинации. Такие задачи называют комбинаторными, а раздел математики, занимающийся подобными задачами, — комбинаторикой.

24. Сколько существует флагов, составленных из трёх горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов — белого, зелёного, красного и синего?

Есть ли среди этих флагов Государственный флаг Российской Федерации?

25. Решите задачу:

1) В первом мешке было 54,4 кг крупы, во втором — в 1,7 раза меньше, чем в первом, а в третьем — на 2,6 кг больше, чем во втором. Сколько килограммов крупы было в трёх мешках вместе?

2) На первую машину погрузили 4,5 т картофеля, на вторую — в 1,4 раза больше, чем на первую, а на третью — на 1,6 т меньше, чем на вторую. Сколько тонн картофеля погрузили на все три машины вместе?

26. Найдите все делители числа 30 и запишите их в порядке возрастания.

27. Выберите из чисел 14, 21, 31, 42, 51, 63, 68, 75 те, которые: а) кратны 7; б) кратны 17; в) не кратны 8; г) не кратны 2.

28. Выполните деление с остатком: 385 : 13; 548 : 12; 3710 : 30.

29. Площадь первого поля 27,3 га. Площадь второго поля на 4,8 га меньше площади первого, а площадь третьего поля в 1,6 раза больше площади второго. Чему равна площадь всех трёх полей вместе?

30. Выполните действия:

а) 18,36 + 0,64 : 0,8; б) 80 • 11 - 42 558 : 519;

в) 3,44 : 0,4 + 24,56; г) 684 • 245 - 675 • 246.

Делители и кратные. Ответы

1 . На 36 кучек по 1 ореху, на 18 кучек по 2 ореха, на 12 кучек по 3 ореха, на 9 кучек по 4 ореха, на 6 кучек по 6 орехов, на 4 кучки по 9 орехов, на 3 кучки по 12 орехов, на 2 кучки по 18 орехов.

2. а) 42 : 6 = 7. 42 делится на 6 без остатка, поэтому можно взять 7 коробок в которых будут находиться 42 ложки; б) 49 не делится на 6 без остатка, поэтому чтобы взять 49 ложек, надо взять 8 коробок и еще одну ложку из вскрытой коробки.

3. а) Верно, 45 делится нацело на 5 (45 : 5 = 9); б) неверно, 8 не делится нацело на 16; в) неверно, 152 не делится нацело на 17; г) верно, 27 делится нацело на 3; д) неверно, 6 не делится нацело на 12; е) верно, 156 делится нацело на 13 (156 : 13 = 12);

4. 105 : 15 = 7, без остатка, следовательно 15 - делитель числа 105. Частное отделения 105 : 15 равно 7 и тоже является делителем числа 105.

5. а) Делители числа 20 : 4, 10; б) кратные числа 4 : 4, 8, 12, 16; в) делители 16 и кратные 4 : 4, 8, 16; г) число 6 кратно числу 3 и является делителем числа 18.

6. а) Числа 1, 2, 3, 6 - делители числа 6; б) числа 1, 2, 3, 6, 9, 18 - делители числа 18; в) числа 1, 5, 25 - делители числа 25; г) числа 1, 19 - делители числа 19.

7. а) числа 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 кратны числу 8; б) числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 кратны числу 11; в) числа 48, 96 кратны числу 48; г) число 99 кратно числу 99.

8. Школьники могут построиться в две шеренги по: 90 : 2 = 45 школьников; в 5 шеренг по: 90 : 5 = 18 школьников; в колонну по 6 человек в ряд, т.к. 90 : 6 = 15, но не могут в 11 шеренг, т.к. 90 не делится на 11 без остатка.

9. 70525 : 217 = 325, деление без остатка; 225261 : 729 = 309, деление без остатка.

10.

Числа a, 2a, За, 4a, кратны числу a.

11. Число 6 имеет делители 1, 2, 3, 6; 1 + 2 + 3 = 6, т. е. сумма делителей, не считая самого этого числа, равна 6; число 28 имеет делители 1, 2, 4, 7, 14, 28; 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, т. е. сумма делителей, не считая самого этого числа, равна 28; число 496 имеет делители 1. 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496; 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496, т. е. сумма делителей, не считая самого этого числа, равна 496.

12. Делители числа 220: 1. 2. 4. 5, 10, 11, 20, 22. 44. 55, 110, 220; 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284; делители числа 284: 1, 2. 4, 71, 142,284; 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

13. Пусть а и b натуральные числа, произведение этих чисел равно а • b; a • b : a = b; т. е. а • b кратно b: a • b : b = a. т. е. а • b кратно а.

14. Результаты измерения размеров кадра на рисунке: ширина 2,8 см. высота 4,3 см. Эти размеры после увеличения в 5 раз будут равны: ширина 2,8 • 5 = 14 см, высота 4,3 • 5 = 21,5 см. Эти размеры после увеличения в 10 раз будут равны: ширина 2,8 • 10 = 28 см, высота 4,3 • 10 = 43 см. Изображение кадра после десятикратного увеличения не уместятся на листе бумаги, имеющего размеры 24x30 см.

15. а) 5,8; 7,23; 0,68; 0,94; 3,82; б) 0,46; 0,54; 0,8; 0,03; 0,55; в) 0,8; 6,3; 7; 1; 1; г) 0.6; 0,4; 0,3; 0,05; 2,05.

17. Вариант решения отсутствует

18. 1) соответствует в) ответ: 35,64; 2) соответствует а) ответ: 14,36; з) соответствует б) ответ: 17,32.

19. а) 243 : 15 = 16, остаток 3; б) 3629 : 12 = 302, остаток 5; в) 1075 : 29 = 37, остаток 2; г) 1632 : 51 = 32, без остатка.

19. а) 3; б) 1; в) 3; г) 1; д) 1; е) 1.

22. а) 3,4 + 2,5 = 5,9; 17,2 + 2,8 = 20; 5,9 + 3,7 = 9,6; 4,587 + 7,64 = 12,227;

б) 5,7 - 1.3 = 4,4; 8 - 3,4 = 4,6; 12,3 - 1,8 = 10,5; 10,273 - 5,49 = 4,783;

в) 2,4 • 3 = 7,2; 3,02 • 7 = 21,14; 2,6 • 3,7 = 9,62; 4,5 • 2,06 = 9,27;

г) 3,5 : 7 = 0,5; 8,4 : 4 = 2.1; 60,8 : 1,9 = 32; 20,52 : 3.8 = 5,4.

25. 1) Во втором мешке было: 54,4 : 1,7 = 32 кг крупы; в третьем мешке было: 32+2,6=34,6 кг крупы; в трех мешках вместе было: 54,4+32+34,6=121 кв крупы.

2) На вторую машину погрузили: 4,5 • 1,4 = 6,3 т картофеля; на третью машину погрузили: 6,3-1,6=4,7 т картофеля; на все три машины погрузили: 4,5 + 6,3 + 4,7 = 15,5 т картофеля.

26. 1, 2, 3, 5,6, 10, 15, 30.

27. а) 14,21,42,63; б) 51,68; в) 14,21,31,42.51,63,68,75; г)21,31,51,63,75.

28. 385:13=29, остаток 8; 548:12=45, остаток 8; 3710:30=123, остаток 20.

29. Площадь второго поля: 27,3-4,8=22,5 га; площадь третьего поля: 22,5 • 1,6=36 га; общая площадь всех трех полей: 27,3+22,5+36=85,8 га.

30 (28). а) 18,36 + 0,64 : 0,8 = 18,36 + 0,8 = 19,16; в) 3,44 : 0,4 + 24,56 = 8,6 + 24,56 = 33,16; б) 80 • 11 - 42558 : 519 = 880 - 82 = 798; г) 684 • 245 - 675 • 246 = 167580 - 166050 = 1530;