Содержание

Главная >> Математика 6 класс. Виленкин

§ 1. Делимость чисел

5. Разложение на простые множители

Число 210 является произведением чисел 21 и 10. Значит, 210 = 21 • 10. Числа 21 и 10 составные. Их тоже можно представить в виде произведений: 21 = 3 - 7 , 10 = 2 • 5. Получаем: 210 = 3 • 7 • 2 • 5. Теперь в произведении 3 • 7 • 2 • 5 все множители — простые числа. Таким образом, число 210 разложено на простые множители:

Число 210 можно разложить на простые множители иным способом: 210 = 30- 7 = 1 0 - 3 - 7 = 5- 2- 3 - 7 . Получились те же самые простые множители, только записанные в другом порядке. Обычно записывают множители в порядке их возрастания:

210 = 2 • 3 • 5 • 7.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.

Разложим, например, на простые множители число 756. Оно делится на 2, так как оканчивается чётной цифрой 6. Имеем 756 : 2 = 378. Проведём вертикальную черту и запишем слева от неё делимое 756, а справа — делитель 2. Частное запишем под числом 756.

Число 378 тоже делится на 2. При делении получаем в частном 189.
189 не делится на 2, так как оканчивается нечётной цифрой. Но 189 делится на 3, так как сумма его цифр (1 + 8 + 9 = 18) делится на 3. Имеем 189 : 3 = 63.
Число 63 также делится на 3. При делении получим число 21.
Число 21 также делим на 3, причём получаем в частном простое число 7.
При делении числа 7 на 7 получаем 1.
Разложение на множители закончено.
Значит, 756 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 •7.

Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители?
Чем могут отличаться два разложения одного и того же числа на простые множители?

121. Разложите на простые множители числа:

а) 216; 162; 144; 512; 675; 1024;
б) 60; 180; 220; 350; 400; 1200; 8000;
в) 11; 1001; 1225; 21780; 45 630.

122. Напишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит:

а) из двух одинаковых множителей;
б) из трёх одинаковых множителей.

123. Запишите все двузначные числа, которые раскладываются на два различных простых множителя, один из которых равен:

а) 11;     6)13;      в) 23;      г) 47.

124. Выясните, делится ли число а на число b без остатка, если:

а) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 и b = 2 • 3 • 7;
б) а = 3 • 3 • 5 • 5 • 11 и b = 3 • 3 • 5 ;
в) а = 3 • 3 • 5 • 7 • 13 и b = 3 • 5 • 5 • 1 3 ;
г) а = 2 • 3 • 3 • 7 • 7 и b = 21;
д) а = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 7 и b = 135;
е ) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 и b = 1000.

В случае, когда а делится на b, найдите частное.

125. Вычислите устно:

126. При каких натуральных значениях а произведение 23а является простым числом?

127. Существует ли прямоугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, а периметр — простым числом?

128. Найдите по два простых делителя каждого из чисел:

54;62;143;182; 3333; 5005.

129. Какие простые числа являются решениями неравенства 17 < р < 44?

130. Могут ли быть простыми числами координаты точек А, В, С и D (рис. 5), если р — простое число?

131. Представьте: а) число 3 в виде дроби со знаменателем 5; б) число 1 в виде дроби со знаменателем 12.

132. Выполните действие:

133. Из 35 учащихся пятого класса 22 выписывают журнал, 27 — газету, а 3 ученика не выписывают ни газету, ни журнал. Сколько учащихся выписывают газету и журнал?

134. а) Книга на 100% дороже альбома. На сколько процентов альбом дешевле книги?
б) Масса гуся на 25% больше массы утки. На сколько процентов масса утки меньше массы гуся?

135. Для какого числового выражения составлена программа вычислений на микрокалькуляторе:

136. Стороны треугольника 12 см, 17 см и х см: а) составьте выражение для вычисления периметра этого треугольника; б) подумайте, каким может быть значение х и каким быть не может.

137. Сколько чётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 5?

138. Решите задачу:

1) Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4 ц хлопка за день. При этом первая бригада собрала на 1,52 ц больше второй. Сколько центнеров хлопка собрала каждая бригада?
2) Два комбайнера убрали пшеницу с 64,2 га. Сколько гектаров убрал каждый комбайнер, если первый убрал на 2,8 га меньше, чем второй?

139. Найдите значение выражения:

1) (13 - 9,5 : 3,8) • 0,3;      3) (1,3 • 2,8 + 1) : 0,8;
2) (16,1 : 4,6 - 3,07) • 0,2;      4) (3,7 • 2,3 - 5) : 0,3.

140. На поверхности куба (рис. 6) найдите кратчайший путь:

а) из точки А в точку С через точку В;
б) из точки А в точку С, который пересекал бы все боковые рёбра куба, кроме ребра АС.

141. Разложите на простые множители числа:

а) 54; 65; 99; 162; 10 000;      б) 1500; 7000; 3240; 4608.

142. Выполните действия:

143. Два тракториста вспахали 12,32 га земли, причём один из них вспахал в 1,2 раза меньше другого. Сколько гектаров земли вспахал каждый тракторист?

144. Подставьте в таблицу подходящие натуральные значения х и у и сделайте выводы о чётности или нечётности результата действия в каждом случае:

145. Выполните действия:

а) (424,2 - 98,4) : 3,6 • 0,9 + 9,1;      б) (96,6 + 98,6) : 6,4 • 1,2 - 0,2.