Содержание

Главная >> Математика 6 класс. Виленкин

§8. Решение уравнений

42. Решение уравнений

Пример 1. Решим уравнение 4 • (х + 5) = 12.

Р е ш е н и е. По правилу отыскания неизвестного множителя имеем х + 5 = 12 : 4, т. е. х + 5 = 3. Это же уравнение можно получить, разделив обе части данного уравнения на 4 или умножив обе части на Теперь легко найти значение х. Имеем х = 3 - 5, или х = -2.

Число -2 является корнем уравнения х + 5 = 3 и уравнения 4 • [х + 5) = 12, так как -2 + 5 = 3 и 4 • (-2 + 5) = 12.

• Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Пример 2. Решим уравнение 2х + 5 = 17.

Р е ш е н и е. По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х = 17 - 5, т. е. 2х = 12. Уравнения 2х + 5 = 17 и 2x = 17 - 5 имеют один и тот же корень 6, так как 2 • 6 + 5=17 и 2 • 6=17 - 5.

Уравнение 2х = 17 - 5 можно записать так: 2х = 17 + (-5). Видим, что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

Пример 3. Решим уравнение 5x = 2x + 6 (рис. 93).

Р е ш е н и е. Вычтем из обеих частей уравнения по 2х (снимем с обеих чашек весов по две буханки хлеба). Получим 5x - 2х = 2х - 2х + 6. Но 2х - 2х = 0, значит, 5x - 2x = 6. Это уравнение можно получить из данного, если слагаемое 2x перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный. Решая дальше уравнение 5х - 2х = 6, получим Зx = 6 и х = 2.

Число 2 есть корень уравнения 5x - 2х = 6 и уравнения 5x = 2x + 6, так как 5 • 2 - 2 • 2 = 6 и 5 • 2 = 2 • 2 + 6.

• Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Пример 4. Решим уравнение

Р е ш е н и е. Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того, чтобы освободиться от дробного коэффициента. Получим х + 36 = Зx. Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое Зx из правой части в левую: x - Зx = -36. Упростим левую часть уравнения: -2x = -36. Теперь разделим обе части уравнения на -2, получим x = 18.

Число 18 является корнем данного уравнения так как верно равенство

Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные уравнения к виду ах = b, где а ≠ 0.

Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Обе части уравнения умножили на число, не равное 0. Изменились ли корни данного уравнения?
Обе части уравнения разделили на одно и то же число, отличное от нуля. Изменились ли корни данного уравнения?
Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
Какие уравнения называют линейными?

1314. Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного:

1315. Соберите в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой — не содержащие неизвестное:

1316. Решите уравнение:

1317. С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных чисел и решите уравнение:

1318. Решите уравнение и выполните проверку:

1319. Найдите корень уравнения:

1320. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:

1321. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?

1322. Длина отрезка АВ на 2 см больше, чем длина отрезка CD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длину отрезка АВ.

1323. Автобус проходит расстояние от города до села за 1,8 ч, а легковая автомашина — за 0,8 ч. Найдите скорость автобуса, если известно, что она меньше скорости легковой автомашины на 50 км/ч.

1324. На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую автомашину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих автомашинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую автомашину?

1325. В спортивном лагере прибывших туристов разместили в гостинице, — в летних домиках, а остальных 75 туристов — в палатках. Сколько туристов прибыло в спортивный лагерь?

1326. В школьной библиотеке есть художественная, научно-популярная и справочная литература. Число книг с художественными произведениями составляет всех книг библиотеки, число научно-популярных книг составляет от числа художественных, а остальные 160 книг — справочники. Сколько всего книг в библиотеке?

1327. Три завода получили заказ на изготовление моторов. Первый завод выполнил 0,56 всего заказа, второй — того, что выполнил первый завод, а третий завод изготовил остальные 240 моторов. Сколько всего моторов изготовили все три завода?

1328. Верёвку длиной 63 м разрезали на два куска так, что 0,4 длины первого куска были равны 0,3 длины второго куска. Найдите длину каждого куска верёвки.

1329. На отливку блока объёмом 2,5 м³ требуется 5,5 т бетона. На сколько увеличится расход бетона при отливке блока объёмом 2,9 м³?

1330. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

1331. Вычислите устно:

1332. При каких значениях а верно неравенство:

1333. Приведите подобные слагаемые:

1334. Упростите выражение:

1335. Расфасовочная машина может всю привезённую продукцию обработать за 20 ч. Определите: а) какую часть всей продукции она обработает за 1 ч; б) сколько процентов всей продукции она обработает за 1 ч; в) какую часть всей продукции она обработает за 8 ч; г) сколько процентов всей продукции она обработает за 9 ч.

1336. За какое время всё свекловичное поле уберёт уборочная машина, если известно, что она за 1 ч убирает: а) 5 % всего поля; б) всего поля; в) 0,4 всего поля?

1337. За какое время двигатель израсходует весь бензин из бака, если он: а) за 3 ч расходует 12% всего бензина; б) за 3 ч расходует всего бензина; в) за 6 ч расходует 0,24 всего бензина?

1338. Докажите, что при любом значении буквы значение выражения:

1339. Найдите значение выражения:

1340. Старинная задача.

— Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы.

— Вот сколько, — ответил учитель. — Половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины.

1341. Решите уравнение и выполните проверку:

1342. Решите уравнение:

1343. Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего числа отнять 54, а к меньшему прибавить 72, то получатся равные результаты. Чему равны эти числа?

1344. Бутылка с кефиром в 2 раза тяжелее пустой бутылки (рис. 94). Галя выпила половину бутылки кефира. Сколько граммов кефира выпила Галя?

1345. У Миши и Коли в коллекциях было одинаковое число марок. Когда Миша подарил часть своих марок младшему брату, а Коля в 1,4 раза меньшее число своих марок отдал на выставку, у Миши осталось 20 марок, а у Коли — 40 марок. Сколько марок было у каждого мальчика первоначально, сколько марок Коли на выставке и сколько марок Миша подарил брату?

1346. На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги, то на полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

1347. В двух бочках 725 л бензина. Когда из первой бочки взяли а из второй бочки бензина, то в обеих бочках бензина стало поровну. Сколько литров бензина было в каждой бочке первоначально?

1348. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:

1349. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского чая, то он будет составлять 45% смеси. Сколько граммов индийского чая было в смеси первоначально?

1350. Поезд шёл 3,5 ч со скоростью 64,4 км/ч. На сколько надо увеличить скорость поезда, чтобы пройти это расстояние за 2,8 ч?

1351. Одна поливочная машина может полить всю улицу за 15 мин, а другая — за 12 мин. Какую часть улицы польют обе машины за 1 мин? за 3 мин?